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Soutenance de thèse de David MALTESE - Laboratore iMATH



Le Bureau des Études Doctorales a le plaisir de vous informer que
Monsieur David MALTESE

Doctorant au Laboratoire IMATH rattaché à l’école doctorale 548 « Mer et Sciences »,
sous la direction de Monsieur Antonín NOVOTNÝ, Professeur des Universités, Université de Toulon (83) Et Monsieur Thierry GALLOUËT, Professeur des Universités, Université de Toulon (83) soutiendra publiquement sa thèse en vue de l’obtention du doctorat Mathématiques, sur le thème suivant :

« Quelques résultats en analyse théorique et numérique pour les équations de Navier-Stokes compressibles »

Le mercredi 07 décembre 2016 à 14h00,
à l’Université de Toulon, Campus de La Garde, Bâtiment M – Amphi M

devant un jury composé de :

Résumé

Quelques résultats en analyse théorique et numérique des équations de Navier-Stokes compressibles
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’analyse mathématique théorique et numérique des équations de Navier-Stokes compressibles en régime barotrope. La plupart des travaux présentés ici combinent des méthodes d’analyse des équations aux dérivées partielles et des méthodes d’analyse numérique afin de clarifier la notion de solution faible ainsi que les mécanismes de convergence de méthodes numériques approximant ces solutions faibles. En effet les équations de Navier-Stokes compressibles sont fortement non linéaires et leur analyse mathématique repose nécessairement sur la structure de ces équations. Plus précisément, nous prouvons dans la partie théorique l’existence de solutions faibles pour un modèle d’écoulement compressible d’entropie variable où l’entropie du système est transportée. Nous utilisons les méthodes classiques permettant de prouver l’existence de solutions faibles aux équations de Navier-Stokes compressibles en régime barotrope. Nous étudions aussi dans cette partie la réduction de dimension 3D/2D dans les équations de Navier-Stokes compressibles en utilisant la méthode d’énergie relative. Dans la partie numérique nous nous intéressons aux estimations d’erreur inconditionnelles pour des schémas numériques approximant les solutions faibles des équations de Navier-Stokes compressibles. Ces estimations d’erreur sont obtenues à l’aide d’une version discrète de l’énergie relative satisfaite par les solutions discrètes de ces schémas. Ces estimations d’erreur sont obtenues pour un schéma numérique académique de type volumes finis/éléments finis ainsi que pour le schéma numérique Marker-and-Cell. Nous prouvons aussi que le schéma Marker-and-Cell est inconditionnellement et uniformément asymptotiquement stable en régime bas Mach. Ces résultats constituent les premiers résultats d’estimations d’erreur inconditionnelles pour des schémas numériques pour les équations de Navier-Stokes compressibles en régime barorope.

Mot clés : Navier-Stokes, Solutions faibles, Limites singulières, Energie relative, Schémas numériques, Estimations d’erreur.

Some theorical and numerical results
for the compressible Navier-Stokes equations

In this thesis, we deal with mathematical and numerical analysis of compressible Navier-Stokes equations in barotropic regime. Most of these works presented here combine mathematical analysis of partial differential equations and numerical methods with aim to shred more light on the construction of weak solutions on one side and on the convergence mechanisms of numerical methods approximating these weak solutions on the other side. Indeed, the compressible Navier-Stokes equations are strongly nonlinear and their mathematical analysis necessarily relies on the structure of equations. More precisely, we prove in the theorical part the existence of weak solutions for a model a flow of compressible viscous fluid with variable entropy where the entropy is transported. We use the classical techniques to prove the existence of weak solutions for the compressible Navier-Stokes equations in barotropic regime. We also investigate the 3D/2D dimension reduction in the compressible Navier-Stokes equations using the relative energy method. In the numerical we deal with unconditionally error estimates for numerical schemes approximating weak solutions of the compressible Navier-Stokes equations. These error estimates are obtained by using the discrete version of the relative energy method. These error estimates are obtained for a academic finite volume/finite element scheme and for the Marker-and-Cell scheme. We also prove that the Marker-and-cell scheme is unconditionally and uniformly asymptotically stable at the Low Mach number regime. These are the first results on unconditionally error estimates for numerical schemes approximating the compressible Navier-Stokes equations in barotropic regime.

Keywords : Navier-Stokes, Weak solutions, Singular limits, Relative energy, Numerical schemes, Error estimates



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