Le Bureau des Études Doctorales a le plaisir de vous informer que
Monsieur Serhii DYSHKO
Doctorant au Laboratoire IMATH, rattaché à l’école doctorale 548 « Mer et Sciences », sous la direction de Monsieur Philippe LANGEVIN, Professeur des Universités, Université de Toulon (83) soutiendra publiquement sa thèse en vue de l’obtention du doctorat en Mathématiques, sur le thème suivant :
« Généralisations du théorème d’extension de MacWilliams »
Le jeudi 15 décembre 2016 à 15h00,
à l’Université de Toulon, Campus de La Garde, Bâtiment M – Amphi 01
Le fameux Théorème d’Extension de MacWilliams affirme que, pour les codes classiques, toute isométrie de Hamming linéaire d’un code linéaire se prolonge en une application monomiale. Cependant, pour les codes linéaires sur les alphabets de module, l’existence d’un analogue du théorème d’extension n’est pas garantie. Autrement dit, il existe des codes linéaires sur certains alphabets de module dont les isométries de Hamming ne sont pas toujours extensibles. Il en est de même pour un contexte plus général d’un alphabet de module muni d’une fonction de poids arbitraire. Dans la présente thèse, nous prouvons des analogues du théorème d’extension pour des codes construits sur des alphabets et fonctions de poids arbitraires. La propriété d’extension est analysée notamment pour les codes de petite longueur sur un alphabet de module de matrices, les codes MDS généraux, ou encore les codes sur un alphabet de module muni de la composition de poids symétrisée. Indépendamment de ce sujet, une classification des deux groupes des isométries des codes combinatoires est donnée. Les techniques développées dans la thèse sont prolongées aux cas des codes stabilisateurs quantiques et aux codes de Gabidulin dans le cadre de la métrique rang.
The famous MacWilliams Extension Theorem states that for classical codes each linear Hamming isometry of a linear code extends to a monomial map. However, for linear codes over module alphabets an analogue of the extension theorem does not always exist. That is, there may exists a linear code over a module alphabet with an unextendable Hamming isometry. The same holds in a more general context of a module alphabet equipped with a general weight function. Analogues of the extension theorem for different classes of codes, alphabets and weights are proven in the present thesis. For instance, extension properties of the following codes are studied : short codes over a matrix module alphabet, maximum distance separable codes, codes over a module alphabet equipped with the symmetrized weight composition. As a separate result, a classification of two isometry groups of combinatorial codes is given. The thesis also contains applications of the developed techniques to quantum stabilizer codes and Gabidulin codes.