Le Bureau des Études Doctorales a le plaisir de vous informer que

Madame Hanen LOUATI

Doctorante au laboratoire CPT, rattaché à l’école doctorale 548 « Mer et Sciences », sous la direction de Monsieur Michel ROULEUX, Maître de Conférences-HDR, Université de Toulon (France), Directeur de thèse, Et Monsieur M’HADHBI, Professeur, Université Tunis El-Manar (Tunisie), Co-directeur de thèse, soutiendra publiquement sa thèse préparée en cotutelle en vue de l’obtention du doctorat Mathématiques sur le thème suivant :

Le vendredi 27 janvier 2017 à 11h00, à l’Université de Tunis El-Manar – Campus Universitaire de Tunis – Département de Mathématiques –Salle des Séminaires

devant un jury composé de :

• Sami BARAKET Professeur, Université Tunis El-Manar (Tunisie)
• Philippe BRIET Professeur, Université de Toulon (83)
• Noureddine M’HADHBI Professeur, Université Tunis El-Manar(Tunisie)
• Maher MNIF Professeur, Université de Sfax (Tunisie)
• Konstantin PANKRASHKIN Maitre de Conférences, Université Paris-Sud (91)
• Michel ROULEUX Maitre de Conférences, Université de Toulon (83)

Règles de quantification semi-classique pour une orbite périodique de type hyperbolique

Résumé :

On étudie les résonances semi-excitées pour un Opérateur h-Pseudo différentiel H(x,hDx) sur l’espace des fonctions de carré sommable sur une variété M induites par une orbite périodique de type hyperbolique près d’un niveau d’énergie fixé. Par exemple, M est l’espace euclidien n dimensionnel, et H(x,hDx ;h) l’opérateur de Schrödinger avec effet Stark, ou H(x,hDx ;h) est le flot géodésique sur une variété axi-symétrique M, généralisant l’exemple de Poincaré de systèmes Lagrangiens à 2 degrés de liberté. On étend le formalisme de Gérard and Sjöstrand, au sens où on autorise d’une part des valeurs propres hyperboliques et elliptiques de l’application de Poincaré, et où l’on considère d’autre part des résonances dont la partie imaginaire est de l’ordre d’une puissance fractionnaire de h.

On établit une règle de quantification de type Bohr-Sommerfeld au premier ordre en fonction des nombres quantiques longitudinaux (réels) et transverses (complexes), incluant l’intégrale d’action le long de l’orbite, la 1-forme sous-principale, et l’indice de Conley-Zehnder.

semi-classical quantization rules for a periodic orbit of hyperbolic type

Abstract :

In this Thesis we consider semi-excited resonances for a h-Pseudo-Differential Operator H(x,hDx ;h) on L2(M) induced by a periodic orbit of hyperbolic type near some fixed energy level, as arises when M is the euclidean space, and H(x,hDx ;h) a Schrödinger operator with AC Stark effect, or H(x,hDx ;h) is the geodesic flow on an axially symmetric manifold M, extending Poincaré example of Lagrangian systems with 2 degree of freedom. We generalize the framework of Gérard and Sjöstrand, in the sense that we allow for hyperbolic and elliptic eigenvalues of Poincaré map, and look for (excited) resonances with imaginary part of magnitude a fractional power of h.

We provide with a first order asymptotics of Bohr-Sommerfeld quantization rule in terms of the (real) longitudinal and (complex) transverse quantum numbers, including the action integral, the sub-principal 1-form and Conley-Zehnder index.