Le Bureau des Études Doctorales a le plaisir de vous informer que

Monsieur Tran Duc Minh PHAN

Doctorant au laboratoire IMATH

sous la direction de

Monsieur Guy BOUCHITTÉ, Professeur des Universités, Université de Toulon (France)
soutiendra publiquement sa thèse en vue de l’obtention du Doctorat en Mathématiques Spécialité Mathématiques Appliquées

sur le thème suivant :

le Jeudi 28 juin 2018 à 14h15

à l’Université de Toulon – Campus de La Garde – Bâtiment X– Salle du Conseil

devant un jury composé de :

• M. BOUSQUET Pierre Professeur, Université de Toulouse, Rapporteur

• Mme. FRAGALÀ Ilaria Professeur, Politecnico de Milan (Italie), Rapporteur

• M. BUTTAZZO Giuseppe Professeur, Université de Pise (Italie), Président

• M. CHAMPION Thierry Maître de Conférences, Université de Toulon, Examinateur

• M. GALUSINSKI Cédric Professeur, Université de Toulon, Examinateur

• Mme. JIMENEZ Chloé Maître de Conférences, Université de Brest, Examinateur

• M. BOUCHITTÉ Guy Professeur, Université de Toulon, Directeur de thèse

Résumés :

Une méthode de dualité pour des problèmes non convexes du Calcul des Variations

Dans cette thèse, nous étudions un principe général de convexification permettant de traiter certains problèmes variationnels non convexes sur $R^d$. Grâce à ce principe nous pouvons mettre en œuvre les puissantes techniques de dualité et ramener de tels problèmes à des formulations de type primal-dual dans $R^d+1$, rendant ainsi efficace la recherche numérique de minima globaux. Une théorie de la dualité et des champs de calibration est reformulée dans le cas de fonctionnelles à croissance linéaire. Sous certaines hypothèses, cela nous permet de généraliser un principe d’exclusion découvert par Visintin dans les années 1990 et de réduire le problème initial à la minimisation d’une fonctionnelle convexe sur $R^d$. Ce résultat s’applique notamment à une classe de problèmes à frontière libre ou multi-phasique donnant lieu à des tests numériques très convaincants au vu de la qualité des interfaces obtenues. Ensuite nous appliquons la théorie des calibrations à un problème classique de surfaces minimales avec frontière libre et établissons de nouveaux résultats de comparaison avec sa variante où la fonctionnelle des surfaces minimales est remplacée par la variation totale. Nous généralisons la notion de calibrabilité introduite par Caselles-Chambolle et Al. et construisons explicitement une solution duale pour le problème associé à la seconde fonctionnelle en utilisant un potentiel localement Lipschitzien lié à la distance au cut-locus. La dernière partie de la thèse est consacrée aux algorithmes d’optimisation de type primal-dual pour la recherche de points selle, en introduisant de nouvelles variantes plus efficaces en précision et temps calcul. Nous avons en particulier introduit une variante semi-implicite de la méthode d’Arrow-Hurwicz qui permet de réduire le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une qualité satisfaisante des interfaces. Enfin nous avons traité la non différentiabilité structurelle des Lagrangiens utilisés à l’aide d’une méthode géométrique de projection sur l’épigraphe offrant ainsi une alternative aux méthodes classiques de régularisation.

Mot clés : Optimisation non convexe, Principe de min-max, Frontière libre, Discontinuités libres, Gamma-convergence, Algorithme primal-dual, Projection épigraphique.

A duality method for non-convex problems in Calculus of Variations

In this thesis, we study a general principle of convexification to treat certain non convex variational problems in $R^d$. Thanks to this principle we are able to enforce the powerful duality techniques and bring back such problems to primal-dual formulations in $R^d+1$, thus making efficient the numerical search of a global minimizer. A theory of duality and calibration fields is reformulated in the case of linear-growth functionals. Under suitable assumptions, this allows us to revisit and extend an exclusion principle discovered by Visintin in the 1990s and to reduce the original problem to the minimization of a convex functional in $R^d$. This result is then applied successfully to a class of free boundary or multiphase problems that we treat numerically obtaining very accurate interfaces. On the other hand we apply the theory of calibrations to a classical problem of minimal surfaces with free boundary and establish new results related to the comparison with its variant where the minimal surfaces functional is replaced by the total variation. We generalize the notion of calibrability introduced by Caselles-Chambolle and Al. and construct explicitly a dual solution for the problem associated with the second functional by using a locally Lipschitzian potential related to the distance to the cut-locus. The last part of the thesis is devoted to primal-dual optimization algorithms for the search of saddle points, introducing new more efficient variants in precision and computation time. In particular, we experiment a semi-implicit variant of the Arrow-Hurwicz method which allows to reduce drastically the number of iterations necessary to obtain a sharp accuracy of the interfaces. Eventually we tackle the structural non-differentiability of the Lagrangian arising from our method by means of a geometric projection method on the epigraph, thus offering an alternative to all classical regularization methods.

Keywords : Non-convex optimization, Min-Max principle, Free boundary, Free discontinuities, Gamma-convergence, Primal-dual algorithm, Epigraph projection.